Nombres de Mersenne

Énoncé

Pour tout entier \(n \geqslant 2\) , on pose \(M_n=2^n-1\) , appelé \(n\) -ème nombre de Mersenne.

1. a. Calculer  \(M_2\) , \(M_3\) ,  \(M_4\) ,  \(M_5\) ,  \(M_6\) ,  \(M_7\) et \(M_8\) .
    b. Parmi les nombres de Mersenne calculés précédemment, lesquels sont premiers ?

2. On souhaite démontrer que, étant donné un entier  \(n \geqslant 2\) , si  \(M_n\)  est un nombre premier, alors  \(n\)  est aussi un nombre premier.
    a. Soit  \(n \geqslant 2\)  et  \(a\) ,  \(b \in \mathbb{Z}\) . 
Montrer que  \(a^n-b^n=(a-b)\left(b^{n-1}+ab^{n-2}+a^2b^{n-3}+...+a^{n-2}b+a^{n-1}\right)\) .
    b. Soit \(n \geqslant 2\) un entier non premier.
Justifier qu'il existe un nombre premier \(p \geqslant 2\) et un entier \(m \geqslant 2\) tels que \(n=pm\) ,
puis montrer que  \(M_n=(2^p-1)(1+2^p+(2^p)^2+...+(2^p)^{m-1})\) .
    c. Conclure.

3. Démontrer que la réciproque de la propriété prouvée à la question 2 est fausse, c'est-à-dire que si \(n\) est un nombre premier, alors \(M_n\) n'est pas nécessairement un nombre premier.